一、学情分析：
学生在经历了证明一证明二以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。
二、教学目标：
1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。
3、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.
教学难点：在问题解决过程中的策略和方法。
三、教学过程
第一环节：提出问题，猜想探究
问题(1)任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
（教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路，这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。）
问题（2）任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?
（教学策略：由问题一的研究学生能够顺理成章的从两个角度来进行思考，一个是从特殊到一般的思想，一个是直接对一般情况进行证明的思想，但是较问题（1）直接证明难度较大，所以引导学生先从特殊情况入手，得到一个猜想后，再进行一般情况的证明会更好一些。这样在具体问题的解决过程中，会给学生一些启示，有助于学生一般情况下的证明思路的形成。）
如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.总结如下:有三种思路可以选择:
①先固定所求矩形的周长, 设另一个矩形的长为x，将问题化为方程x(6－x)=4是否有解的问题.
②先固定所求矩形的面积, 设另一个矩形的长为x，将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题.
③也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积同时扩大2倍后应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组x+y=6 ，xy=4然后讨论它的解是否符合题意.
然后引导学生再通过几组特例的研究，结果都发现存在这样的矩形，于是得到一个猜想。从而将探究活动推向第二环节拓展思维，证明猜想。
第二环节：拓展思维，证明猜想
当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为 2(m+n)－x,根据题意,得x［2(m+n)－x]=2mn.整理得－2(m+n)x+2mn=0解得
经检验,符合题意,所以存在这样一个矩形。
于是得到结论：任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
引导学生继续将问题向纵深拓展:既然存在倍增关系的矩形，那么是否存在减半的矩形呢？
第三环节：问题拓广，自主探究
由学生提出问题（3），任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
(教学策略：此问题提出后，学生也会有两种解决问题的思想，一种就是顺承上面问题的解决思路完成此题的探究过程，另一种也可能会有小明一样的想法。若是学生中未出现小明的思路，则让学生阅读课本，然后判断小明的想法是否正确.此问题要求学生在自主探究的基础上，小组合作细化完成解答过程。)
学生通过如上问的探究：发现当已知矩形的长和宽为2和1,3和1,4和1,5和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半.
于是就可能会得到一个猜想，一定不存在这样减半的矩形。
于是进行一般情况下的对猜想的证明。设已知矩形的长和宽分别为n,m,所求矩形的长为x，那么有x〔 （n+m）－x〕= mn.得到一元二次方程的根的判别式.而此时不总是大于0的，也不总是小于0的，于是此题的结论不是一定不存在，而是有选择性的存在，当≥0，这样的矩形存在，而当≤0时这样的矩形不存在。
第四环节：总结反思，方法提炼
（1）本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系.
（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的视野.
第五环节：布置作业，巩固所学
一篇数学小论文，把课题学习探索的过程 和探索得到的结果及你的感受体验整理成数学小论文。
