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综合与实践:探寻神奇的幻方 栗鹏伟

教学目标

1.综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算,探索三阶幻方的本质特征。

2经历观察、猜想、归纳、类比等活动初步积累构造三阶幻方的经验。

3.进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。

教学重点

探索三阶幻方的本质特征

教学难点

构造符合要求的三阶幻方

教法与学法指导:

教法:情景体验法、引导发现法。具体地,首先通过神话故事引入三阶幻方,学生从图形感受三阶幻方的对称美,然后设计一系列开放性的问题串引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作,从而引导学生借助有理数混合运算、字母表示数及其运算,揭示简单的三阶幻方的本质特征,最后让学生应用归纳得到的本质特征尝试构造满足要求的三阶幻方,初步获取构造三阶幻方的经验。

学法:小组讨论、自主探究、合作交流.

教具准备:投影片

教学过程:

一、巧设情景,引入新课

[师]语文课上我们学过很多古诗,大家能不能背一首?

[生]能。背诵一首古诗。

[师]其实,在数学中也有许多美妙古诗,今天老师就给大家带来一首,请看:(出示投影片)

 四海三山八仙洞,九龙王子一枝莲。

 二七六郎赏月半,周围十五月团圆。

学生先默读这首诗,再齐声读这首诗。

[师]要想解释这首诗的意思,先让我们先看看这首诗的来历吧。(引入神话传说)

相传三千多年前大禹治水的时候,有一只神龟出自洛水。龟背上刻有神奇的图案。   

这个龟背图很特别,用黑白圈来表示数,并用直线连接这9个数。你能说出它们分别代表哪些数吗?

学生回答。白色是单数,黑色是双数。

[师]这幅图被称为“洛书”,实际上是一个三阶幻方,(即三行三列九个方格)如图2(出示投影片2)。学生认识图2。

[师]由于洛书是9个数组成,故称为“九宫”。我国的少数民族如:藏族和纳西族都曾有“九宫图”。这首诗就是当时赞美九宫图的。九宫图还有很多好听的名字,如宋朝数学家杨辉曾给它起名“纵横图”,后来传到外国,取名为“幻方”,意思是变幻莫测的方块。幻方曾使大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林很感兴趣。但是外国人研究幻方比我们的祖先晚了两千多年。今天我们就来探寻神奇的幻方。教师板书课题。

【设计意图:用一首古诗引入新课,可以激发学生强烈的求知欲;介绍神话故事和幻方的历史,使学生对幻方简单的了解,不仅有利于学生课余时间对幻方深入探究,还培养了学生民族自豪感。】

二、明确任务 小组探究

[师]同学们仔细观察图2的幻方,先独立思考一下问题,然后小组讨论你没有解决的问题,10分钟后,每个小组选派一名代表展示你们的答案,比一比哪一个小组完成的更好!

教师出示学习任务。(投影片出示课本“议一议”)

在如图的三阶幻方中:

(1)         每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少?你能发现哪些相等的关系?

(2)         如果把和相等的每一组数分别连线,这些连线会构成一个怎样的图形?描述你得到的图形有什么特点?

(3)         你能否改变幻方中数字的位置,使它们仍然满足你刚才发现的那些相等关系?

(4)         在你构造的幻方中,最核心的位置是什么?有没有“成对”的数?

(5)         你还有什么新的发现?

 学生对于1、2两个问题可以独立思考得到答案,问题3对于一般的学生只能得到1~2种答案,所以要发挥小组集体的力量来获取更多的答案,为发现第4题的规律做准备。第5题也要求小组讨论发现新规律。

【设计意图:学生根据教师布置的学习任务,通过独立思考、小组讨论、合作探究等形式,基本能掌握三阶幻方的特点和构造三阶幻方的方法,为下一步探究埋下伏笔。】

三、展示交流 适时点拨

[师]同学们讨论时间到了,你们完成任务了吗?

学生自信地齐声回答:完成了。

[师]好,我们找小组的同学到黑板展示第1题,哪一个小组愿意带头?

学生纷纷举手,跃跃欲试。教师找一名学生展示答案。

[生1]我们小组发现每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于15,所以它们都相等。[师]哪组同学到黑板连线一下,展示第2题。

[生2](画图如下)特点:“5”在中间,四个角上的数是偶数,其他位置的数是奇数。

[师]你们小组画出几个符合条件的幻方?第x组同学展示你们的成果。

生3到黑板画幻方。其他小组同学观察、思考、计算幻方是否符合条件。画错的其他同学订正。他没有想到的其他同学补充。

[师]谈谈你是怎样构造幻方的?

[生4]我是把4和6会换,9和1互换,2和8互换,3和7互换构造的。

[师]同学仔细看答案,你发现了什么现象?

学生讨论后回答。

[生5]相当于外边的数绕“5”转圈圈。

[师]很好,哪个小组的同学说一说第4题的答案呀?

[生6]最核心位置的是正中间的那一个,有四对成对的数出现:4和6、3和7、2和8、1和9。

[师]为什么“5”在正中间的位置呢?(估计大部分学生没有认真思考这个问题,教师要引导学生从两个方面思考)三个数的和等于15 的算式有哪些?

 

[生]               

               

这8个算式中“5”在四个算式中出现,它出现的次数最多,而中间位置的数字与4条线段关联,因此最中间的数字必定是“5”。

[师]我们能不能用字母表示数来解决这个问题呢/?我们不妨设这9个位置的数分别是a、b、c、d、e、f、g、h、i(如图3),因为每行、每列、每条对角线三个数的和都等于15,你能写出它们满足的算式吗?

 

[生]写出算式:          

        

   

[师]我们最关心的数是中间位置的“e”,把含有“e”的算式找出来,然后相加。

[生],,,

四式相加得:

         即:               

 

因此最中间位置的数是5

教师根据学生情况可以适当的点拨和讲解。

[师]最中间的位置很重要,所以诗中称之为王子位。你能解释开头那首诗的意思了吧?

学生解释古诗的意思,特别是最后一句。

[师]你还有什么新发现?

让学生大胆发言,教师要根据教学情况加以引导。

【设计意图:通过学生的展示交流,让学生体验综合利用数学知识(有理数的运算和字母表示数)分析、抽象出幻方的特征,感受数学知识的内在联系,加深了学生对三阶幻方本质特征的了解和掌握,同时也有利于教师了解学情,进行二次备课,有的放矢,适时引导学生探究三阶幻方本质特征。】

 

四、构造幻方 方法共享

活动一:三阶幻方的构造

[师]试将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到3×3的方格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。

学生根据刚才三阶幻方的特点,实践去构造满足条件的幻方。

[师]试将2、4、6、8、10、12、14、16、18填入到3×3的方格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。

【设计意图:让学生构造三阶幻方是让学生通过实践来逐步显现规律,教学中一定要留给学生充足的时间来操作、尝试。】

活动二:交流构造幻方的方法

教师投影学生完成的作业,出示投影“想一想”,然后让学生交流构造幻方的方法。

[师]想一想:

(1)你是怎样解决上述问题的?

(2)你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方?应怎样把九个数填入幻方?结合你填好的幻方说说你的理由。

(3)你还有什么新的猜想?

[生1]回答(1)最中间的位置填入2,因为2在这9个数的中间,其余的8个数分成4组,-2和6、-1和5、0和4、1和3,第1组和第3组应该填在中间,其余两组填在四个对角。

[生2]回答(2)连线的九个数可以满足三阶幻方。等差数列的九个数可以满足三阶幻方。

对于这两个问题,教师要鼓励学生大胆发言,让更多的学生参与讨论和交流,以便方法共享,经验得到推广。问题2的答案可能学生倾向于与原来的幻方对比是减去3、乘以2,这种类比、归纳、猜想的数学思想方法在教学中要注意渗透。

【设计意图:让学生谈谈自己构造幻方的方法和道理,培养学生分享成功的经验的良好学习习惯,在教学中要注意数学思想方法的渗透。】

活动三、构造幻方方法介绍

[师]同学们,我国宋代数学家杨辉是世界上第一个对幻方详细研究的学者,并取得了丰硕成果,他总结出了“洛书”幻方的构造方法。(出示投影片)

学生自学方法,教师简单作解释。

[师]法国数学家梅齐利亚克创造了一种构造奇数幻方的方法-----阶梯法。口诀为“画格辅助九子斜排   送子回家清除辅助”(出示投影)

 

设计意图:通过这两种方法的介绍,不是增加学生的负担,相反是为了提高学生课余时间研究幻方的兴趣,加深学生对构造幻方方法的深层探究,教师不可用时过多,只供学有能力的学生了解即可。】

五、总结概括,整理知识

1.本节课主要学习了什么知识?你有哪些收获?

学生回顾两个目标:(1)幻方的特点:

(2)构造幻方的方法

2.这节课你的表现如何?今后还应怎样努力?

学生谈谈本节课学会哪些方面,还有哪些不足之处,结合解题过程出现的问题,今后如何改正这些错误。

【设计意图:让学生梳理所学知识点,培养归纳概括能力和语言表达能力。评价自己的学习表现,有利于学生看到自己的优点和不足,以及今后改正的方向,同时也有助于学习习惯的培养。

六、布置作业

1、(必做题)自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于60.

2、(选做题)用1~25这25个数构造一个五阶幻方。

【设计意图:分层次作业的设置,为学生搭建不同高度的学习平台,满足不同层次学生学习数学的需要,鼓励学有余力的学生课外自主探究。】

 

 

 教学反思:

本课是初中阶段数学学学习中“综合与探究”第一课,教学中首先以探寻三阶幻方的本质特征为中心,帮助学生感受数学之美,引导学生体验综合运用数学知识解决问题的过程,培养学生运用数学解决问题的能力。教学中要给学生提供充足的探究时间,建议课前学生安排学生通过各种途径自学幻方,教学中鼓励学生从多个角度进行尝试,不要以教师的讲解代替学生的思考和讨论交流。对于补充两个构造幻方的方法,有条件的话教师介绍为学生,但不要过多讲解,主要目的是吸引学生的学习热情,让课外时间学生去探究幻方的构造。

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